Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M為線段PC的中點(diǎn)，N在線段BC上，且BN=1．
（Ⅰ）證明：BM⊥AN；
（Ⅱ）求直線MN與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為原點(diǎn)，分別以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AP}$的方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，由$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{BM}$=0即可證明AN⊥BM．
（Ⅱ）設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{z=2y}\end{array}\right.$，取y=1得平面MBD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，1，2），設(shè)直線MN與平面PCD所成的角為θ，則由向量的夾角公式即可求得直線MN與平面PCD所成角的正弦值．

解答 （本題滿分12分）
解：如圖，以A為原點(diǎn)，分別以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AP}$的方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），M（1，2，1），N（2，1，0），…（3分）
（Ⅰ）∵$\overrightarrow{AN}$=（2，1，0），$\overrightarrow{BM}$=（-1，2，1），…（4分）
∴$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{BM}$=0…（5分）
∴$\overrightarrow{AN}$⊥$\overrightarrow{BM}$，即AN⊥BM…（6分）
（Ⅱ）設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），…（7分）
∵$\overrightarrow{PC}$=（2，4，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，4，-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{2x+4y-2z=0}\\{4y-2z=0}\end{array}\right.$，…（9分）
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{z=2y}\end{array}\right.$，
取y=1得平面MBD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，1，2），…（10分）
設(shè)直線MN與平面PCD所成的角為θ，則由$\overrightarrow{MN}$=（-1，1，1），…（11分）
可得：sinθ=|cos＜$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{3}{\sqrt{3}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面所成的角的求法，正確利用空間向量的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．