Question

19．在平面直角坐標系中，A（1，t），C（-2t，2），$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$（O是坐標原點），其中t∈（0，+∞）．
（1）求 B點坐標；
（2）求四邊形OABC在第一象限部分的面積S（t）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的坐標運算即可求B點坐標；
（2）根據(jù)條件判斷四邊形OABC為矩形，然后根據(jù)B的坐標求出四邊形OABC在第一象限部分圖象即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵A（1，t），C（-2t，2），
∴$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$=（1，t）+（-2t，2）=（1-2t，t+2），
即B（1-2t，t+2）．
（2）∵$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$，∴OABC為平行四邊形，
又∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=-2t+2t=0$，
∴OA⊥OC，∴四邊形OABC為矩形．
∵$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$=（1-2t，t+2），
當1-2t＞0，即0＜t＜$\frac{1}{2}$時，
A在第一象限，B在第一象限，C在第二象限，（如圖1）
此時BC的方程為：y-2=t（x+2t），
令x=0，得BC交y軸于K（0，2t²+2），
∴S（t）=S_OABC-S_△OKC=2（1-t+t²-t³）=2（-t³+t²-t+1）．
當1-2t≤0，即t≥$\frac{1}{2}$時，A在第一象限，B在y軸上或在第二象限，C在第二象限，（如圖2）
此時AB的方程為：y-t=-$\frac{1}{t}$（x-1），
令x=0，得AB交軸于M（0，t+$\frac{1}{t}$），
∴S（t）=S_△OAM=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{t}$），
∴S（t）=$\left\{\begin{array}{l}{2（-{t}^{3}+{t}^{2}-t+1），}&{0＜t＜\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}（t+\frac{1}{t}），}&{t≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查平面向量坐標的基本運算，以及平面向量的應(yīng)用，綜合性較強，根據(jù)條件判斷四邊形OABC為矩形是解決本題的關(guān)鍵．．