Question

5．如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，線段B₁D₁上有兩個動點E、F，且EF=1，則下列結(jié)論中錯誤的是（　�。�

• A． EF∥平面ABCD
• B． AC⊥BE
• C． 三棱錐A-BEF體積為定值
• D． △BEF與△AEF面積相等

Answer 1

分析 在A中，由EF∥BD，得EF∥平面ABCD；在B中，由AC⊥平面BB₁D₁D，得AC⊥BE；在C中，由EF=1，S_△BEF=1，得三棱錐A-BEF體積為定值；在D中，△BEF與△AEF底都是EF，但高不相等，故面積不相等．

解答 解：在A中：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，線段B₁D₁上有兩個動點E、F，
∴EF∥BD，BD?平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，故A正確；
在B中：如圖，正方體中，AC⊥BD，AC⊥BB₁，BD∩BB₁=B，
∴AC⊥平面BB₁D₁D．
又BE?平面BB₁D₁D，∴AC⊥BE，故B正確；
在C中：∵EF=1，∴${S}_{△BEF}=\frac{1}{2}×EF×B{B}_{1}$=$\frac{1}{2}×1×2$=1，
設(shè)AC∩BD=O，則AO⊥平面BEF，AO=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，
∴三棱錐A-BEF體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△BEF}×AO$=$\frac{1}{3}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴三棱錐A-BEF體積為定值，故C正確；
在D中：${S}_{△BEF}=\frac{1}{2}×EF×B{B}_{1}$=$\frac{1}{2}×1×2$=1，
${S}_{△AEF}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△BEF與△AEF面積不相等，故D錯誤．
故選：D．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．