Question

7．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=3$\sqrt{2}$，AA₁=2，點(diǎn)P、Q分別為A₁B和B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PQ∥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）求三棱錐Q-A₁BC的體積．

Answer 1

分析 （I）連接AC₁，與A₁C相交于點(diǎn)G，則G為A₁C的中點(diǎn)，連接PG，C₁G，利用三角形的周期性定理及其矩形的性質(zhì)可得$PG\underset{∥}{=}Q{C}_{1}$，得到四邊形PGC₁Q是平行四邊形，可得PQ∥C₁G，利用線(xiàn)面平行的判定定理可得：PQ∥平面A₁ACC₁．
（II）A₁B₁=A₁C₁，Q為B₁C₁的中點(diǎn)，可得A₁Q⊥B₁C₁，再由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，可得A₁Q⊥平面B₁BCC₁，即A₁Q是三棱錐A₁-BQC的高 利用${V}_{Q-{A}_{1}BC}$=${V}_{{A}_{1}-BCQ}$=$\frac{1}{3}•{A}_{1}Q•{S}_{△BCQ}$即可得出．

解答 （I）證明：連接AC₁，與A₁C相交于點(diǎn)G，則G為A₁C的中點(diǎn)，連接PG，C₁G，
又∵A₁P=PB，
∴PG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}BC$，又$Q{C}_{1}\underset{∥}{=}\frac{1}{2}BC$，
∴$PG\underset{∥}{=}Q{C}_{1}$，
∴四邊形PGC₁Q是平行四邊形，
∴PQ∥C₁G，
又PQ?平面平面A₁ACC₁，C₁G?平面A₁ACC₁，
∴PQ∥平面A₁ACC₁．
（II）解：∵A₁B₁=A₁C₁，Q為B₁C₁的中點(diǎn)，
∴A₁Q⊥B₁C₁，
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，可得A₁Q⊥C₁C，B₁C₁∩C₁C=C₁，
∴A₁Q⊥平面B₁BCC₁，
∴A₁Q是三棱錐A₁-BQC的高．
∵∠BAC=90°，AB=AC=3$\sqrt{2}$，
∴$BC=3\sqrt{2}×\sqrt{2}$=6，
∴${A}_{1}Q=\frac{3\sqrt{2}×3\sqrt{2}}{6}$=3．
又S_△BCQ=$\frac{1}{2}×6×2$=6．
∴${V}_{Q-{A}_{1}BC}$=${V}_{{A}_{1}-BCQ}$=$\frac{1}{3}•{A}_{1}Q•{S}_{△BCQ}$=$\frac{1}{3}×3×6$=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直棱柱的性質(zhì)、平行四邊形與矩形的性質(zhì)、線(xiàn)面面面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、三角形中位線(xiàn)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．