Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-x+1（a≥0），l是曲線y=g（x）的一條切線，證明：曲線y=g（x）上的任意一點(diǎn)都不能在直線l的上方；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，方程2m[x+f（x）]=（1-2m）x²有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax，x＞0．根據(jù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合解不等式即可得出單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）g′（x）=$\frac{-2a{x}^{2}-x+1}{x}$（x＞0，a＞0），構(gòu)造u（x）=-2ax²-x+1=0，x=$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{-4a}$，判斷單調(diào)性得出g（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{-4a}$）單調(diào)遞增，在（$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{-4a}$，+∞）單調(diào)遞減．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出圖象的特點(diǎn)，曲線y=g（x）上的任意一點(diǎn)都不能在切線l的上方；
（Ⅲ）把方程2m（x+lnx-x²）=（1-2m）x²，轉(zhuǎn)化得出m=$\frac{{x}^{2}}{2x+2lnx}$，構(gòu)造函數(shù)k（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x+2lnx}$，k′（x）=$\frac{2x（x-1+2lnx）}{（2x+2lnx）^{2}}$，x＞0．判斷出極值點(diǎn)即可，得出所求解的答案．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=lnx-ax²．
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax，x＞0．
①當(dāng)a＞0時(shí)，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax＞0．得出0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax＜0，得出x$＞\frac{1}{\sqrt{2a}}$，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=0．得出x=$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）單調(diào)遞增，（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，+∞）單調(diào)遞減．
②當(dāng)a＜0時(shí)，∵x＞0
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax，x＞0．
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
（Ⅱ）g（x）=f（x）-x+1=lnx-ax²-x+1（a≥0），
①a=0時(shí)，g（x）′=$\frac{1}{x}$-1，x＞0，
g（x）′=0，x=1，
g（x）′＞0，0＜x＜1，
g（x）′＜0，x＞1，
∴g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
g（x）的最大值為g（1）=0．
∴g（x）≤0，∴l(xiāng)是曲線y=g（x）的一條切線，曲線y=g（x）上的任意一點(diǎn)都不能在直線l的上方；
②a≠0時(shí)，g′（x）=$\frac{-2a{x}^{2}-x+1}{x}$（x＞0，a＞0）
u（x）=-2ax²-x+1=0，x=$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{-4a}$，
∴g（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{-4a}$）單調(diào)遞增，在（$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{-4a}$，+∞）單調(diào)遞減．
∴l(xiāng)是曲線y=g（x）的一條切線，曲線y=g（x）上的任意一點(diǎn)都不能在直線l的上方；
（Ⅲ）∵2m[x+f（x）]=（1-2m）x²，
∴2m（x+lnx-x²）=（1-2m）x²，
m=$\frac{{x}^{2}}{2x+2lnx}$，
令k（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x+2lnx}$，k′（x）=$\frac{2x（x-1+2lnx）}{（2x+2lnx）^{2}}$，x＞0．
k′（x）=$\frac{2x（x-1+2lnx）}{（2x+2lnx）^{2}}$=0．x=1，x＞0．
k′（x）=$\frac{2x（x-1+2lnx）}{（2x+2lnx）^{2}}$＜0，0＜x＜1，x＞0．
k′（x）=$\frac{2x（x-1+2lnx）}{（2x+2lnx）^{2}}$＞0，x＞0．x-1+2lnx=0，x=1，x=x₀＜1，
∴k（x）在（x₀，1）（0，x₀）單調(diào)遞減，在（1，+∞）的遞增．
即x＞x₀，k（x）≥k（1）=$\frac{1}{2}$，x＜x₀，k（x）＜0
∵方程2m[x+f（x）]=（1-2m）x²有唯一實(shí)數(shù)解，
∴y=m（m＞0）與k（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x+2lnx}$，有一個(gè)交點(diǎn)，
故m=$\frac{1}{2}$，

點(diǎn)評 本題綜合考察了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，不等式，求解函數(shù)的性質(zhì)問題，解決方程的根的問題，函數(shù)圖象的性質(zhì)規(guī)律，屬于難度較大的題目，綜合性較大．