Question

5．已知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n²，數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=2ⁿ，則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$}的最大值為$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 $\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$，作差$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{（n+1）^{2}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$=$\frac{-（n-1）^{2}+2}{{2}^{n+1}}$，可得當n=1，2時，$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$＞$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$；當n≥3時，$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$＜$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$．可得n≤3，數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$}單調(diào)遞增；n≥3數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$}單調(diào)遞減．即可得出．

解答 解：$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{（n+1）^{2}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$=$\frac{-（n-1）^{2}+2}{{2}^{n+1}}$，
∴當n=1，2時，$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$＞$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$；當n≥3時，$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$＜$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$．
因此n≤3，數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$}單調(diào)遞增；n≥3數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$}單調(diào)遞減．
又$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{2}}{_{2}}$=1，$\frac{{a}_{3}}{_{3}}$=$\frac{9}{8}$，$\frac{{a}_{4}}{_{4}}$=1，…，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$}的最大值為$\frac{9}{8}$．
故答案為：$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、作差法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．