Question

6．已知四棱錐P-ABCD中，AD=2BC，且AD∥BC，點M，N分別是PB，PD中點，平面MNC交PA于Q．
（1）證明：NC∥平面PAB
（2）試確定Q點的位置，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）取PA中點E，連結(jié)EN，BE，則可證四邊形BCNE是平行四邊形，故CN∥BE，從而CN∥平面PAB；
（2）取PE的中點Q，連結(jié)MQ，NQ，則MQ∥BE∥CN，故Q∈平面MCN，即Q是PA的一個四等分點．

解答 解：（1）取PA中點E，連結(jié)EN，BE，
∵E是PA的中點，N是PD的中點，∴EN=$\frac{1}{2}$AD，EN∥AD，
又∵BC=$\frac{1}{2}AD$，BC∥AD，∴EN∥BC，EN=BC，
∴四邊形BCNE是平行四邊形．
∴CN∥BE，又∵BE?平面ABP，CN?平面ABP，
∴NC∥平面PAB．
（2）Q是PA的一個四等分點，且PQ=$\frac{1}{4}$PA．
證明如下：取PE的中點Q，連結(jié)MQ，NQ，
∵M是PB的中點，∴MQ∥BE，
又∵CN∥BE，∴MQ∥CN，∴Q∈平面MCN，
又∵Q∈PA，∴PA∩平面MCN=Q，
∴PQ=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{1}{4}$PA，
∴Q是PA的靠近P的一個四等分點．

點評 本題考查了線面平行的判定及平面的性質(zhì)，構(gòu)造平行四邊形是關(guān)鍵．