Question

7．正四面體ABCD棱長為$\sqrt{2}$，E，F，G分別是AB，AD，DC的中點，則$\overrightarrow{GE}$•$\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{GE}$=$\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$，然后代入數量級公式計算．

解答 解：$\overrightarrow{GE}$=$\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$，
∴$\overrightarrow{GE}•\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}$）•$\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{GC}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CA}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$×cos120°+$\sqrt{2}×\sqrt{2}×cos60°$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$×cos60°）
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數量級運算，將向量轉化為共面向量的乘積是關鍵．