Question

6．（1）解關(guān)于x的不等式：$\frac{ax-1}{x-1}＞a$；
（2）記（1）中不等式的解集為 A，若 A⊆R⁺，證明：2a³+4a≥5a²+1．

Answer 1

分析 （1）$\frac{ax-1}{x-1}＞a$化為：（a-1）（x-1）＞0，對a分類討論即可得出；
（2）由于A⊆R⁺，因此取A=[1，+∞）．則a≥1，作差2a³+4a-（5a²+1）=（2a-1）（a-1）²，即可證明．

解答 （1）解：$\frac{ax-1}{x-1}＞a$化為：（a-1）（x-1）＞0，當a＞1時，不等式的解集為（1，+∞）；
當a=1時，不等式的解集為∅；
當a＜1時，不等式的解集為（-∞，1）．
（2）證明：∵A⊆R⁺，
∴取A=[1，+∞）．
即a≥1，
∴2a³+4a-（5a²+1）=（2a-1）（a-1）²≥0．
∴2a³+4a≥5a²+1．

點評 本題考查了分式不等式的解法、“作差法”、不等式的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．