Question

12．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=2，S_n+1=S_n+cn（c≠0）且S₁，S₂，S₃成等比數(shù)列．求
（1）常數(shù)c；
（2）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，S_n+1=S_n+cn（c≠0），可得S₂=2+c，S₃=2+3c．由于S₁，S₂，S₃成等比數(shù)列，可得${S}_{2}^{2}$=S₁•S₃，解出即可得出．
（2）由于S_n+1-S_n=2n，利用S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=2，S_n+1=S_n+cn（c≠0），
∴S₂=2+c，S₃=2+3c．
∵S₁，S₂，S₃成等比數(shù)列，
∴${S}_{2}^{2}$=S₁•S₃，
∴（2+c）²=2（2+3c），（c≠0）．
解得c=2．
（2）∵S_n+1-S_n=2n，
∴S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2+2
=$\frac{（n-1）（2n-2+2）}{2}$+2
=n²-n+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“累加求和”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．