Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD=45°，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面PDF；
（2）求證：平面PDF⊥平面PAB．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點(diǎn)M，由三角形的中位線定理，結(jié)合已知條件，易證明四邊形MEBF是平行四邊形，且BE∥MF，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到BE∥平面PDF；
（2）連接BD，由∵∠BAD=45°，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，可得DF⊥AB，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥DF，結(jié)合線面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PDF⊥平面PAB．

解答 證明：（1）取PD的中點(diǎn)M，
∵E是PC的中點(diǎn)，
∴ME是△PCD的中位線，
∴ME∥FB，
∴四邊形MEBF是平行四邊形，
∴BE∥MF，
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（2）連接BD，
∵∠BAD=45°，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，
∴DF⊥AB，
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DF，
又由PA∩AB=A，
∴DF⊥平面PAB，
又∵DF?平面PDF，
∴平面PDF⊥平面PAB．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是證得BE∥MF，（2）的關(guān)鍵是證明DF⊥平面PAB．