Question

15．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是A₁C，A₁B₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：D₁E∥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求證：BC⊥A₁C；
（Ⅲ）若A₁A=AB，求DF與平面A₁ADD₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （ I）連結(jié)D₁F，EF，B₁C，通過證明EF∥CB₁．A₁B₁∥D₁C₁，說明四邊形C₁D₁FB₁為平行四邊形，證明平面D₁EF∥平面BB₁C₁C，然后證明D₁E∥平面BB₁C₁C．
（ II）連結(jié)AC，證明BC⊥AC．A₁A⊥BC．推出BC⊥平面A₁AC，即可證明BC⊥A₁C．
（ III）取A₁D₁的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，推出FG⊥平面A₁ADD₁．連結(jié)DG，說明∠FDG為直線DF與平面A₁ADD₁所成的角．在Rt△FDG中，求解即可．

解答 （本小題滿分13分）
（ I）證明：連結(jié)D₁F，EF，B₁C，因?yàn)镋F是△A₁CB₁的中位線，所以EF∥CB₁．
因?yàn)锳B∥DC，所以A₁B₁∥D₁C₁，又因?yàn)锳B=2AD=2，∠ABC=60°，可求D₁C₁=1，故D₁C₁=FB₁，所以四邊形C₁D₁FB₁為平行四邊形，
所以D₁F∥C₁B₁，又因?yàn)镋F∩D₁F=F，CB₁∩C₁B₁=B₁，
所以平面D₁EF∥平面BB₁C₁C，又因?yàn)镈₁E?平面D₁EF．
所以D₁E∥平面BB₁C₁C．…．（4分）

（ II）證明：連結(jié)AC，在等腰△ADC中可求AC=$\sqrt{3}$，
又因?yàn)锽C=1，AB=2，所以AC²+BC²=AB²，所以BC⊥AC．
又四棱柱是直四棱柱，故A₁A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以A₁A⊥BC．
因?yàn)锳₁A∩AC=A，所以BC⊥平面A₁AC，A₁C?平面A₁AC，
所以BC⊥A₁C                 …．（8分）
（ III）解：取A₁D₁的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，由已知可知△A₁D₁F為正三角形，
故FG⊥A₁D₁，
又因?yàn)樗睦庵�是直四棱柱，所以平面A₁D₁F⊥平面A₁ADD₁，
所以FG⊥平面A₁ADD₁．
連結(jié)DG，則∠FDG為直線DF與平面A₁ADD₁所成的角．
在Rt△FDG中，$FG=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，DG=\frac{{\sqrt{17}}}{2}$，故$DF=\sqrt{5}$，
所以$sin∠FDG=\frac{FG}{DF}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{10}$．                  …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行，直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)，直線與平面孫傳庭的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．