15.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,ABCD是等腰梯形,AB∥DC,AB=2,AD=1,∠ABC=60°,E,F(xiàn)分別是A1C,A1B1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:D1E∥平面BB1C1C;
(Ⅱ)求證:BC⊥A1C;
(Ⅲ)若A1A=AB,求DF與平面A1ADD1所成角的正弦值.

分析 ( I)連結(jié)D1F,EF,B1C,通過證明EF∥CB1.A1B1∥D1C1,說明四邊形C1D1FB1為平行四邊形,證明平面D1EF∥平面BB1C1C,然后證明D1E∥平面BB1C1C.
( II)連結(jié)AC,證明BC⊥AC.A1A⊥BC.推出BC⊥平面A1AC,即可證明BC⊥A1C.
( III)取A1D1的中點(diǎn)G,連結(jié)FG,推出FG⊥平面A1ADD1.連結(jié)DG,說明∠FDG為直線DF與平面A1ADD1所成的角.在Rt△FDG中,求解即可.

解答 (本小題滿分13分)
( I)證明:連結(jié)D1F,EF,B1C,因?yàn)镋F是△A1CB1的中位線,所以EF∥CB1
因?yàn)锳B∥DC,所以A1B1∥D1C1,又因?yàn)锳B=2AD=2,∠ABC=60°,可求D1C1=1,故D1C1=FB1,所以四邊形C1D1FB1為平行四邊形,
所以D1F∥C1B1,又因?yàn)镋F∩D1F=F,CB1∩C1B1=B1,
所以平面D1EF∥平面BB1C1C,又因?yàn)镈1E?平面D1EF.
所以D1E∥平面BB1C1C.….(4分)

( II)證明:連結(jié)AC,在等腰△ADC中可求AC=$\sqrt{3}$,
又因?yàn)锽C=1,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,所以BC⊥AC.
又四棱柱是直四棱柱,故A1A⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以A1A⊥BC.
因?yàn)锳1A∩AC=A,所以BC⊥平面A1AC,A1C?平面A1AC,
所以BC⊥A1C                 ….(8分)
( III)解:取A1D1的中點(diǎn)G,連結(jié)FG,由已知可知△A1D1F為正三角形,
故FG⊥A1D1,
又因?yàn)樗睦庵侵彼睦庵云矫鍭1D1F⊥平面A1ADD1,
所以FG⊥平面A1ADD1
連結(jié)DG,則∠FDG為直線DF與平面A1ADD1所成的角.
在Rt△FDG中,$FG=\frac{{\sqrt{3}}}{2},DG=\frac{{\sqrt{17}}}{2}$,故$DF=\sqrt{5}$,
所以$sin∠FDG=\frac{FG}{DF}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{10}$.                  …(13分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行,直線與平面垂直的判斷與性質(zhì),直線與平面孫傳庭的求法,考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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