Question

19．已知F是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點，B是虛軸的一個端點，線段BF與雙曲線相交于D，且$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BD}$，則雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用右焦點為F（c，0），點B（0，b），線段BF與雙曲線相交于D，且$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BD}$，確定D的坐標，代入雙曲線方程，化簡可求雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)D（x，y），
∵右焦點為F（c，0），點B（0，b），線段BF與雙曲線相交于D，且$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BD}$，
∴x=$\frac{c}{2}$，y=$\frac{2}$，
代入雙曲線方程，可得$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{^{2}}{4}}{^{2}}=1$
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查向量知識的運用，考查雙曲線的離心率，利用向量知識確定D的坐標是關(guān)鍵．