Question

1．如圖，棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)，G為C₁D&₁的中點(diǎn)，H為A₁G的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，求證：EF⊥AH；
（2）設(shè)二面角C₁-EF-C的大小為θ，試確定F點(diǎn)的位置，使得cosθ=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）以A為會(huì)標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)F（x，1，0）（0≤x≤1），通過證明$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{EF}=0$，證明EF⊥AH．
（2）設(shè)$\overrightarrow{v}$=（a，b，c）是平面C₁EF的法向量，利用$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{v}•\overrightarrow{{C}_{1}E}=-\frac{1}{2}b-C=0\\ \overrightarrow{v}•\overrightarrow{EF}=（x-1）a+\frac{1}{2}b=0\end{array}\right.$求出平面C₁EF的一個(gè)法向量$\overrightarrow{v}=（\frac{1}{x-1}，-2，1）$，$\overrightarrow{A{A_1}}=（0，0，1）$是平面EFC的一個(gè)法向量通過向量的數(shù)量積求解即可．

解答 解：以A為會(huì)標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則A₁（0，0，1），${C_1}（1，1，1），D（0，1，0），E（1，\frac{1}{2}，0），G（\frac{1}{2}，1，1），H（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}，1）$
設(shè)F（x，1，0）（0≤x≤1）
（1）易知F（0，1，0），$\overrightarrow{AH}=（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}，1），\overrightarrow{EF}=（-1，\frac{1}{2}，0）$，
∴$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{EF}=0$，
∴EF⊥AH
（2）易知$\overrightarrow{{C_1}E}=（0，-\frac{1}{2}，-1），\overrightarrow{EF}=（x-1，\frac{1}{2}，0）$，且x≠1
設(shè)$\overrightarrow{v}$=（a，b，c）是平面C₁EF的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{v}•\overrightarrow{{C}_{1}E}=-\frac{1}{2}b-C=0\\ \overrightarrow{v}•\overrightarrow{EF}=（x-1）a+\frac{1}{2}b=0\end{array}\right.$
令c=1，則平面C₁EF的一個(gè)法向量$\overrightarrow{v}=（\frac{1}{x-1}，-2，1）$
又$\overrightarrow{A{A_1}}=（0，0，1）$是平面EFC的一個(gè)法向量，∴$cos＜\overrightarrow{v}，\overrightarrow{A{A}_{1}}＞=\frac{\overrightarrow{v}•\overrightarrow{A{A}_{1}}}{|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{A{A}_{1}}|}=\frac{1}{\sqrt{{（\frac{1}{x-1}）}^{2}+5}}$，
結(jié)合條件知可取$cosθ=cos＜v，\overrightarrow{A{A_1}}＞$，
故$\frac{1}{{\sqrt{{{（\frac{1}{x-1}）}^2}+5}}}=\frac{1}{3}$，解得$x=\frac{1}{2}$或$x=\frac{3}{2}$（舍）
故當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，$cosθ=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的平面角的應(yīng)用，空間向量的數(shù)量積證明直線與直線垂直關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．