Question

6．已知M是正四面體ABCD棱AB的中點，N是棱CD上異于端點C，D的任一點，則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)有（　�。�
（1）MN⊥AB；           
（2）若N為中點，則MN與AD所成角為60°；
（3）平面CDM⊥平面ABN；
（4）不存在點N，使得過MN的平面與AC垂直．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 結(jié)合圖形，逐項分析，得出正確的選項．

解答 解：（1）連結(jié)MC，MD，由三角形三線合一可得AB⊥CM，AB⊥DM，∴AB⊥平面MCD，
∵MN?平面MCD，∴AB⊥MN，故（1）正確；
（2）取BD中點E，連結(jié)ME，NE，則∠NME為MN與AD所成角，
連結(jié)BN，由（1）知BM⊥MN，設(shè)正四面體棱長為1，則BM=$\frac{1}{2}$，BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
ME=NE=$\frac{1}{2}$，∴cos∠NME=$\frac{M{N}^{2}+M{E}^{2}-N{E}^{2}}{2MN•ME}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴∠NME=45°，故（2）不正確；
（3）由（1）知AB⊥平面CDM，∵AB?平面ABN，∴平面CDM⊥平面ABN，故（3）正確；
（4）取BC早點F，連結(jié)MF，DF，假設(shè)存在點N，使得過MN的平面與AC垂直，
∴AC⊥MN，∵MF∥AC，∴MF⊥MN，
∵DF=DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠FMD＜90°，同理，∠CMF＜90°．
當N從D向C移動時，∠FMN先減小，后增大，故∠FMN＜90°，與MF⊥MN矛盾．
∴不存在點N，使得過MN的平面與AC垂直，故（4）正確．
故選：C．

點評 本題考查了正四面體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合圖形構(gòu)造平面是關(guān)鍵．