Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x，（x≥0）\\-{x^2}+2x，（x＜0）\end{array}\right.$，若f（a）+f（a²-2）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（2，+∞）
• B． （-1，2）
• C． （-2，1）
• D． （-∞，-2）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 根據分段函數(shù)的表達式，結合函數(shù)奇偶性和單調性的定義先判斷函數(shù)的單調性和奇偶性，然后將不等式進行轉化求解即可得到結論．

解答 解：若x＜0，則-x＞0，此時f（-x）=x²-2x=-（-x²+2x）=-f（x），
若x＞0，則-x＜0，此時f（-x）=-x²-2x=-（x²+2x）=-f（x），
∵f（0）=0，∴恒有f（-x）=-f（x），即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
當x≥0時，y=x²+2x=（x+1）²-1遞增，
當x＜0時，y=2x-x²=-（x-1）²+1遞增，且f（0）=0，
則f（x）在定義域R上是增函數(shù)，
則f（a）+f（a²-2）＜0等價為f（a²-2）＜-f（a）=f（-a），
即：a²-2＜-a，即a²+a-2＜0，
解得：-2＜a＜1
∴實數(shù)a的取值范圍是（-2，1），
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)不等式的求解，利用分段函數(shù)的性質判斷函數(shù)的單調性和奇偶性是解決本題的關鍵．一般來講，抽象函數(shù)不等式，多數(shù)用單調性定義或數(shù)形結合法求解．