Question

15．已知三棱錐D-ABC的四個頂點(diǎn)均在半徑為R的球面上，且AB=BC=$\sqrt{3}$，AC=3，若該三棱錐體積的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，則R=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 如圖所示，由AB=BC=$\sqrt{3}$，AC=3，利用余弦定理可得：$B=\frac{2π}{3}$，S_△ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．當(dāng)DB⊥平面ABC時，該三棱錐取得體積的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．△ABC的外接圓的圓心為B，半徑為r，利用正弦定理可得：2r=$\frac{3}{sin\frac{2π}{3}}$，由V_D-ABC=$\frac{1}{3}×DB×\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，解得DB．設(shè)三棱錐D-ABC的外接球的球心為O，在Rt△OBC中，R²=（3-R）²+$（\sqrt{3}）^{2}$，解出即可．

解答 解：如圖所示，
由AB=BC=$\sqrt{3}$，AC=3，
可得cosB=$\frac{（\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}-{3}^{2}}{2×\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{2}$，
B∈（0，π），
∴$B=\frac{2π}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×（\sqrt{3}）^{2}sin\frac{2π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
當(dāng)DB⊥平面ABC時，該三棱錐取得體積的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
△ABC的外接圓的圓心為B，半徑為r，可得：2r=$\frac{3}{sin\frac{2π}{3}}$=2$\sqrt{3}$，r=$\sqrt{3}$．
由V_D-ABC=$\frac{1}{3}×DB×\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
解得DB=3．
設(shè)三棱錐D-ABC的外接球的球心為O，
在Rt△OBC中，R²=（3-R）²+$（\sqrt{3}）^{2}$，
解得R=2．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系、球的性質(zhì)、三棱錐的體積、余弦定理、勾股定理，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．