Question

18．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，連接BE．
（1）求證：$\frac{AE}{AC}$=$\frac{BE}{DC}$；
（2）若△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$AD•AE，求證：BA⊥AC．

Answer 1

分析 （1）問要證明$\frac{AE}{AC}=\frac{BE}{DC}$，結(jié)合已知條件可以考慮證明△ABE與△ADC的相似關(guān)系；
（2）要證明∠BAC=90°，只需證明BA⊥AC，結(jié)合△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$AD•AE以及（1）問結(jié)果可以證明．

解答 證明：（1）由已知條件，可得∠BAE=∠CAD．
∵∠AEB與∠ACD是同弧所對(duì)的圓周角，
∴∠AEB=∠ACD．
∴△ABE∽△ADC，∴$\frac{AE}{AC}=\frac{BE}{DC}$．
（2）∵△ABE∽△ADC，∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
即AB•AC=AD•AE．
又∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}$AB•ACsin∠BAC，且S=$\frac{1}{2}$AD•AE，
∴AB•ACsin∠BAC=AD•AE．
∴sin∠BAC=1．又∠BAC為△ABC的內(nèi)角，
∴∠BAC=90°，即BA⊥AC．

點(diǎn)評(píng) 考查相似三角形的判定及其應(yīng)用，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．