Question

13．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$；
（2）y=x-$\sqrt{1-2x}$；
（3）y=$\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}$（x＞1）；
（4）y=$\frac{1}{\sqrt{x-{x}^{2}}}$．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)式，解得x²，令x²≥0，即可得到值域；（2）求得定義域，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，可得值域；
（3）運(yùn)用基本不等式，可得值域；運(yùn)用二次函數(shù)的值域求法，可得所求值域．

解答 解：（1）y=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$，即為x²=$\frac{-1-y}{y-1}$，
由x²≥0，解得-1≤y＜1．
即值域?yàn)閇-1，1）；
（2）y=x-$\sqrt{1-2x}$（x≤$\frac{1}{2}$），
由y=x，y=-$\sqrt{1-2x}$在（-∞，$\frac{1}{2}$]遞增，
即有函數(shù)y=x-$\sqrt{1-2x}$在（-∞，$\frac{1}{2}$]遞增，則y≤$\frac{1}{2}$，
故值域?yàn)椋?∞，$\frac{1}{2}$]；
（3）由x＞1，即x-1＞0，
則y=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$≥2，
當(dāng)x=2時(shí)，取得最小值2．
則值域?yàn)閇2，+∞）；
（4）由x-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
可得0＜$\sqrt{x-{x}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，
則y≥2，
即有值域?yàn)閇2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域的求法，注意運(yùn)用單調(diào)性和基本不等式等方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．