Question

8．求函數(shù)解析式：
①若f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{x}{1-x}$，求f（x），其中x≠0，x≠1；
②f（x）是一次函數(shù)，且3f（x+1）-2f（x-1）=2x；
③f（x+$\frac{1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，求f（x）．

Answer 1

分析 ①通過換元求出函數(shù)的解析式即可；
②由題意設(shè)f（x）=ax+b，利用f（x）滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x，利用恒等式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等即可得出；
③通過配方法求出函數(shù)的解析式即可．

解答 解：①令t=$\frac{1}{x}$，則x=$\frac{1}{t}$，
∴f（t）=$\frac{\frac{1}{t}}{1-\frac{1}{t}}$=$\frac{1}{t-1}$，
∴f（x）=$\frac{1}{x-1}$，
②由題意設(shè)f（x）=ax+b，（a≠0）．
∵f（x）滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x，
∴3[a（x+1）+b]-2[a（x-1）+b]=2x，
化為ax+（5a+b）=2x，
∴a=2，b=-10，
∴f（x）=2x-10；
（3）f（x+$\frac{1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=${（x+\frac{1}{x}）}^{2}$-2，
當(dāng)x＞0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$≥2，x＜0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$≤-2，
∴f（x）=x²-2，（x≥2或x≤-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，換元法是常用的方法之一，本題是一道基礎(chǔ)題．