Question

已知向量

m

=（sinx，1），向量

n

=（

3

acosx，

a

2

cos2x），（a＞0）函數(shù)f（x）=

m

•

n

的最大值為6．
（1）求a；
（2）將函數(shù)f（x）向左平移

π

12

個單位，再將所得圖象上各點橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

，縱坐標(biāo)不變，得到g（x）的圖象．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）化f（x）=

m

•

n

=

3

asinxcosx+

a

2

cos2x=a（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）=asin（2x+

π

6

），從而求a；
（2）由圖象變換得到g（x）=6sin（4x+

π

3

），從而求函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

m

•

n

=

3

asinxcosx+

a

2

cos2x
=a（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=asin（2x+

π

6

），
∵函數(shù)f（x）=

m

•

n

的最大值為6．
∴a=6．
（2）f（x）=6sin（2x+

π

6

）

左移 π 12

y=6sin（2（x+

π

12

）+

π

6

）=6sin（2x+

π

3

）

各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的 1 2 倍

y=6sin（4x+

π

3

），
則g（x）=6sin（4x+

π

3

），
∵0≤x≤

5π

24

，
∴0≤4x≤

5π

6

，
∴

π

3

≤4x+

π

3

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（4x+

π

3

）≤1，
∴-3≤sin（4x+

π

3

）≤6，
即g（x）在[0，

5π

24

]上的值域為[-3，6]．

點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積及三角函數(shù)的化簡與其性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．