Question

10．已知點(diǎn)A（-3，0），B（3，0），動點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|．
（1）若點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；
（2）若點(diǎn)Q在直線l₁：x+y+3=0上，直線l₂經(jīng)過點(diǎn)Q且與曲線C只有一個公共點(diǎn)M，求|QM|的最小值，并求此時直線l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），用坐標(biāo)表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，整理即得點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）求出圓心坐標(biāo)，圓的半徑，結(jié)合題意，利用圓的到直線的距離，半徑，|QM|滿足勾股定理，求出|QM|就是最小值，即可求此時直線l₂的方程．

解答 解：（1）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
∵兩定點(diǎn)A（-3，0），B（3，0），動點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|，
∴（x+3）²+y²=4[（x-3）²+y²]，
即（x-5）²+y²=16．
所以此曲線的方程為（x-5）²+y²=16．
（2）∵（x-5）²+y²=16的圓心坐標(biāo)為M′（5，0），半徑為4，則圓心M′到直線l₁的距離為：$\frac{|5+3|}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)Q在直線l₁：x+y+3=0上，過點(diǎn)Q的直線l₂與曲線C（x-5）²+y²=16只有一個公共點(diǎn)M，
∴|QM|的最小值為：$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-{4}^{2}}$=4．
直線M′Q的方程為x-y-5=0，與直線l₁：x+y+3=0聯(lián)立，可得Q（1，-4），
設(shè)切線方程為y+4=k（x-1），即kx-y-k-4=0，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|4k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，∴k=0，方程為y=-4，
斜率不存在時，方程為x=1．

點(diǎn)評 考查兩點(diǎn)間距離公式及圓的性質(zhì)，著重考查直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題．