Question

3．拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．
（1）若$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，求直線AB的斜率；
（2）求△OAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量共線即可得出；
（2）利用（1）的結(jié)論、三角形的面積公式即可得出．

解答 解：（1）∵拋物線y²=4x，∴焦點(diǎn)F（1，0）．
設(shè)直線AB方程為x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y²-4my-4=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4． ①
∵$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，
∴y₁=-2y₂．          ②
聯(lián)立①和②，消去y₁，y₂，得m=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴直線AB的斜率是2$\sqrt{2}$．
（2）由（1）可知：|y₁-y₂|=$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=4$\sqrt{1+{m}^{2}}$．
∴S_△AOB=2$\sqrt{1+{m}^{2}}$，
∴m=0時(shí)，△OAB的面積最小，最小值是2．

點(diǎn)評 本題考查了直線與拋物線的相交問題，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量共線、直線的斜率、三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．