Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{x}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$，1），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，△ABC三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．
（1）求f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）若f（B+C）=1，a=$\sqrt{3}$，b=1，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積公式，結合輔助角公式，即可求f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）先求出B，可得C，再利用三角形的面積公式，可得結論．

解答 解：（1）由題意得$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}$-$si{n}^{2}\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=sin（x+$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
解得2kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{3}$
所以函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為[2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）．
（2）因為f（B+C）=1，所以sin（B+C+$\frac{π}{6}$）=1，
又B+C∈（0，π），B+C+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
所以B+C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，B+C=$\frac{π}{3}$，所以A=$\frac{2π}{3}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$代入，得到sinB=$\frac{1}{2}$
得B=$\frac{π}{6}$或者B=$\frac{5π}{6}$，因為A=$\frac{2π}{3}$為鈍角，所以B=$\frac{5π}{6}$舍去
所以B=$\frac{π}{6}$，得C=$\frac{π}{6}$．
所以，△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}•\sqrt{3}•1•\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查正弦函數(shù)的單調性，考查兩角和與差的三角函數(shù)間的關系，考查正弦定理，屬于中檔題．