Question

9．設(shè)$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{3}}$為單位向量，且$\overrightarrow{{e}_{3}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，（k＞0），若以向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$為兩邊的三角形的面積為$\frac{1}{2}$，則k的值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角，計算$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$，對$\overrightarrow{{e}_{3}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，兩邊平方，列出方程解出k．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$夾角為θ，則$\frac{1}{2}$sinθ=$\frac{1}{2}$，∴sinθ=1，θ=$\frac{π}{2}$．∴$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=0．
∵$\overrightarrow{{e}_{3}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，∴$\overrightarrow{{e}_{3}}$²=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+k²$\overrightarrow{{e}_{2}}$²+k$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=1，∴$\frac{1}{4}+{k}^{2}$=1，又k＞0，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的基本定理及其意義，求出$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角是解題關(guān)鍵．