Question

4．在正方體的12條面對角線和4條體對角線中隨機選取兩條對角線，則這兩條對角線構(gòu)成異面直線的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{7}{15}$
• D． $\frac{9}{20}$

Answer 1

分析 先根據(jù)分類計數(shù)原理求出兩條對角線構(gòu)成異面直線對數(shù)，再求出從16條對角線任取2條的對數(shù)，根據(jù)概率公式計算即可．

解答 解：正方體的12條面對角線中每一條對角線都有5條和它是異面直線，共有12×5對異面，在這里每一條都重復兩次，
故兩條面對角線異面的有（5×12）÷2=30對，
任何一條面對角線都與其中的2條體對角線是異面直線，故有12×2=24對，
任何4條體對角線中都不是異面直線，
故這兩條對角線構(gòu)成異面直線共有30+24=54對，
從16條對角線任取2條，共有C₁₆²=120對，
故這兩條對角線構(gòu)成異面直線的概率為$\frac{54}{120}$=$\frac{9}{20}$，
故選：D．

點評 本題考查根據(jù)實際情況求事件發(fā)生的概率，概率與幾何體結(jié)合考查，是近幾年高考的一個熱點，即考查了概率的基礎(chǔ)知識，也考查了立體幾何的空間想像能力，學習時要注意這兩個知識點之間的銜接，屬于中檔題．