Question

6．設(shè)A、B是拋物線y²=2x上異于原點(diǎn)的不同兩點(diǎn)，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． -1
• C． -2
• D． -4

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的方程為x=my+t，代入拋物線方程，消去x，得到y(tǒng)的方程，設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$，y₂），運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)，由配方即可得到所求最小值．

解答 解：設(shè)直線AB的方程為x=my+t，
代入拋物線y²=2x，可得
y²-2my-2t=0，
由題意可得△=4m²+8t＞0，且t≠0，
設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$，y₂），
則y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2t，
可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4}$+y₁y₂=t²-2t=（t-1）²-1，
當(dāng)t=1時(shí)，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$取得最小值-1．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的最值的求法，直線與拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，正確設(shè)出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法是解題的關(guān)鍵．