Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+3|．
（1）解不等式f（x）≥8；
（2）若不等式f（x）＜a²-3a的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的分段函數(shù)的形式，通過解各個(gè)區(qū)間上的x的范圍去并集即可；（2）求出f（x）的最小值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=|x-1|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-2，x≤-3}\\{4，-3＜x＜1}\\{2x+2，x≥1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜-3時(shí)，由-2x-2≥8，解得x≤-5；
當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，f（x）≤8不成立；
當(dāng)x＞1時(shí)，由2x+2≥8，解得x≥3．
所以不等式f（x）≥8的解集為{x|x≤-5或x≥3}．
（2）因?yàn)閒（x）=|x-1|+|x+3|≥4，
又不等式f（x）＜a²-3a的解集不是空集，
所以，a²-3a＞4，所以a＞4或a＜-1，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）∪（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．