Question

11．設(shè)直線l與拋物線y²=4x相交于A、B兩點，與圓（x-5）²+y²=r²（r＞0）相切于點M，且M為線段AB的中點，若這樣的直線l恰有4條．則r的取值范圍是2＜r＜4．

Answer 1

分析 先確定M的軌跡是直線x=3，代入拋物線方程可得y=±2$\sqrt{3}$，所以交點與圓心（5，0）的距離為4，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
斜率存在時，設(shè)斜率為k，則y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
當(dāng)l的斜率存在時，利用點差法可得ky₀=2，
因為直線與圓相切，所以$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-5}$=-$\frac{1}{k}$，所以x₀=3，
即M的軌跡是直線x=3．
將x=3代入y²=4x，得y²=12，
∴-2$\sqrt{3}$＜y₀＜2$\sqrt{3}$，
∵M(jìn)在圓上，
∴（x₀-5）²+y₀²=r²，
∴r²=y₀²+4≤12+4=16，
∵直線l恰有4條，
∴y₀≠0，
∴4＜r²＜16，
故2＜r＜4時，直線l有2條；
斜率不存在時，直線l有2條；
所以直線l恰有4條，2＜r＜4，
故答案為：2＜r＜4．

點評 本題考查直線與拋物線、圓的位置關(guān)系，考查點差法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題