19.已知曲線C1和C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=6$\sqrt{2}$cos(θ-$\frac{π}{4}$)和ρcos(θ+$\frac{π}{4}$)=4$\sqrt{2}$,長(zhǎng)度為1的線段AB的兩端點(diǎn)在曲線C2上,點(diǎn)P在曲線C1上,求△PAB面積的最大值和最小值.

分析 由已知求出曲線C1直角坐標(biāo)方程為(x-3)2+(y-3)2=18,曲線C2直角坐標(biāo)方程為x-y-8=0,求出圓C1的圓心(3,3)到直線的距離,從而求出圓上的點(diǎn)P到直線的距離的最大值和最小值,由此能求出△PAB面積的最大值和最小值.

解答 解:∵曲線C1極坐標(biāo)方程為ρ=6$\sqrt{2}$cos(θ-$\frac{π}{4}$)=6cosθ+6sinθ,
∴ρ2=6ρcosθ+6ρsinθ,
∴曲線C1直角坐標(biāo)方程為x2+y2=6x+6y,即(x-3)2+(y-3)2=18,
曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+$\frac{π}{4}$)=4$\sqrt{2}$,即ρcosθ-ρsinθ=8,
∴曲線C2直角坐標(biāo)方程為x-y-8=0,
∵圓C1的圓心(3,3)到直線的距離d=$\frac{|3-3-8|}{\sqrt{1+1}}$=4$\sqrt{2}$>3$\sqrt{2}$=r,
∴直線與圓相離,
∴圓上的點(diǎn)P到直線的距離的最大值為d+r=7$\sqrt{2}$,最小值為d-r=$\sqrt{2}$.
∴△PAB面積的最大值為$\frac{1}{2}×1×7\sqrt{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$,最小值為$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的最大值和最小值的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式的合理運(yùn)用,注意點(diǎn)到直線距離公式的合理運(yùn)用.

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