Question

4．函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-x，x＞0}\\{\frac{1}{2}-|{\frac{1}{2}+x}|，x≤0}\end{array}}\right.$，若方程f（x）=kx-k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為$（1，+∞）∪\left\{{-\frac{1}{3}}\right\}$．

Answer 1

分析 作出f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合建立條件關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
y=kx-k=k（x-1），過(guò)定點(diǎn)A（1，0），
當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，即B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）時(shí)，f（x）與y=kx-k有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)，
此時(shí)$\frac{1}{2}$=k（-$\frac{1}{2}$-1）=-$\frac{3}{2}$k，
即k=-$\frac{1}{3}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）=kx-k得x²-x=kx-k，
即x²-（1+k）x+k=0，
若此時(shí)f（x）=kx-k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則$\left\{\begin{array}{l}{△=（1+k）^{2}-4k=（k-1）^{2}＞0}\\{k＞1}\end{array}\right.$，
即k＞1，
綜上k＞1或k=-$\frac{1}{3}$，
故答案為：$（1，+∞）∪\left\{{-\frac{1}{3}}\right\}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．