Question

12．已知f（x）定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽．若B?A，則稱f（x）在A上為“內(nèi)向函數(shù)”，若A?B，則稱f（x）在A上為“外向函數(shù)”．
（1）若f（x）=tanx，試判斷f（x）在定義域上是“內(nèi)向函數(shù)”還是“外向函數(shù)”；
（2）若$f（x）=lnx-\frac{a}{x}（{a≤0}）$在[1，e]上是“內(nèi)向函數(shù)”，求a的范圍；
（3）若B⊆A，則稱f（x）在A上為“偽內(nèi)向函數(shù)”．試證：f（x）=ax-lnx在[1，+∞）上是“偽內(nèi)向函數(shù)”的充要條件是a≥1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“內(nèi)向函數(shù)”和“外向函數(shù)”的定義，進(jìn)行判斷即可；
（2）根據(jù)內(nèi)向函數(shù)的定義，建立集合關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（3）根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合“偽內(nèi)向函數(shù)”的定義進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由題意的f（x）=tanx的定義域A={x|x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z}，值域B=（-∞，+∞），滿足A?B，∴f（x）在A上為“外向函數(shù)”…（2分）
（2）$f（x）=lnx-\frac{a}{x}$在[1，e]上是“內(nèi)向函數(shù)”等價(jià)于f（x）的定義域A真包含于值域B，
f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$
令f′（x）=0，解得x=-a，
列表可得f（x）在（0，-a）上單調(diào)減，（-a，+∞）上單調(diào)增．
1°當(dāng)-a＜1，即a＞-1時(shí)，∵x∈[1，e]，∴f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在[1，e]單調(diào)遞增．
可得f（x）_min=f（1）=-a，f（x）_max=f（e）=1-$\frac{a}{e}$，
由“內(nèi)向函數(shù)”的定義可知：$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）=-a≥1}\\{f（e）=1-\frac{a}{e}≤e}\end{array}}\right.$，且“=”不同時(shí)成立，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a≤-1}\\{a≥e-{e^2}}\end{array}}\right.$，顯然不等式組無解．…（4分），
2°當(dāng)a＜-e時(shí)，
∵x∈[1，e]，∴f'（x）＜0恒成立，∴f（x）在x∈[1，e]單調(diào)遞減，
∴$f{（x）_{min}}=f（e）=1-\frac{a}{e}，f{（x）_{max}}=f（1）=-a$．
由“內(nèi)向函數(shù)”的定義可知：$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）=-a≤e}\\{f（e）=1-\frac{a}{e}≥1}\end{array}}\right.$，且“=”不同時(shí)成立，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a≥-e}\\{a≤0}\end{array}}\right.$，又因?yàn)閍＜-e，所以不等式組亦無解．…（6分）
3°當(dāng)-e≤a≤-1時(shí)，
當(dāng)x∈（1，-a）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（-a，e）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（-a）為極小值，在區(qū)間[1，e]上，f（-a）為最小值，最大值為f（1）或f（e）
由“內(nèi)向函數(shù)”的定義可知：$\left\{{\begin{array}{l}{f（{-a}）≥1}\\{f（1）≤e}\\{f（e）≤e}\end{array}}\right.$$⇒\left\{{\begin{array}{l}{ln（{-a}）+1≥1}\\{-a≤e}\\{1-\frac{a}{e}≤e}\end{array}}\right.$$⇒\left\{{\begin{array}{l}{a≤-1}\\{a≥-e}\\{a≥e-{e^2}}\end{array}}\right.$，
綜上所述解得：-e≤a≤-1…（8分）
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=-e或a=-1時(shí)，A≠B成立
綜上可得得：a的范圍為[-e，-1]…（10分）
（3）充分性：
把f（x）看作關(guān)于a的函數(shù)h（a），顯然這是關(guān)于a的一元一次函數(shù)，
∵x≥1，∴h（a）單調(diào)遞增．∵a≥1，∴f（x）=ax-lnx≥x-lnx，
下證x-lnx≥1，
令g（x）=x-lnx，${g^'}（x）=1-\frac{1}{x}$，∵x∈[1，+∞）∴g′（x）≥0∴x∈[1，+∞）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（1）=1，
∴g（x）≥1，即x-lnx≥1，
∴f（x）在[1，+∞）恒成立，那么顯然B⊆A…（14分）
必要性：
f（x）在[1，+∞）是“偽內(nèi)向函數(shù)”，
∴f（x）≥1在[1，+∞）恒成立，
當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=a≥1，∴a≥1…（16分）
證畢

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷和應(yīng)用，根據(jù)定義結(jié)合集合關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．