Question

19．如圖，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，BC=2，點E在邊BC上，點F在邊CD上，若$\overrightarrow{DF}$=λ$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CE}$=λ²$\overrightarrow{CB}$，則$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FE}$的最大值為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立直角坐標系，可得A（0，0），B（$\sqrt{2}$，0），C（$\sqrt{2}$，2），D（0，2），設E（$\sqrt{2}$，n），F(xiàn)（m，2），運用向量共線的坐標表示，解得m，n，再由向量的數(shù)量積的坐標表示，結合二次函數(shù)的最值的求法，即可得到最大值．

解答 解：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立直角坐標系，
可得A（0，0），B（$\sqrt{2}$，0），C（$\sqrt{2}$，2），D（0，2），
設E（$\sqrt{2}$，n），F(xiàn)（m，2），
由$\overrightarrow{DF}$=λ$\overrightarrow{DC}$，可得m=$\sqrt{2}$λ，即F（$\sqrt{2}$λ，2），
由$\overrightarrow{CE}$=λ²$\overrightarrow{CB}$，可得n=2-2λ²，即E（$\sqrt{2}$，2-2λ²），
則$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FE}$=（$\sqrt{2}$λ，2）•（$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$λ，-2λ²）
=2λ（1-λ）-4λ²=-6λ²+2λ=-6（λ-$\frac{1}{6}$）²+$\frac{1}{6}$，
當λ=$\frac{1}{6}$時，則$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FE}$取得最大值$\frac{1}{6}$．
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的最值的求法，注意運用坐標法，考查二次函數(shù)的最值的求法，以及化簡運算能力，屬于中檔題．