Question

8．拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是2．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，且|$\overrightarrow{AB}$|=4$\sqrt{6}$，求直線l的方程．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p，從而得到拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，求出b，利用|$\overrightarrow{AB}$|=4$\sqrt{6}$，求出k，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）由題意可知，p=2，則拋物線C的方程x²=4y；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，代入拋物線方程可得x²-4kx-4b=0，
則△＞0得k²+b＞0；①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4可得x₁x₂+y₁y₂=-4，整理可得（k²+1）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=-4，
即（k²+1）（-4b）+kb×4k+b²=-4，
化簡可得b²-4b+2=0，故b=2； ②
由于|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{16{k}^{2}+16b}$=4$\sqrt{6}$，
解得，k⁴+3k²-4=0，
故k=±1；③
把②③代入①，顯然成立，
綜上，直線l的方程為y=x+2或y=-x+2．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．