Question

16．已知定圓M：（x+1）²+y²=16，動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)D（1，0），且與圓M相切，記圓心N的軌跡方程為曲線(xiàn)C．
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）已知點(diǎn)P（x，y）（x＞0）在圓x²+y²=3上，過(guò)點(diǎn)P作圓E的切線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，求△ABD的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用動(dòng)圓P與定圓（x-1）²+y²=16相內(nèi)切，以及橢圓的定義，可得動(dòng)圓圓心P的軌跡M的方程；
（2）由$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，即|m|=$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$．聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理，求出△ABD的三條邊，即可求△ABD的周長(zhǎng)．

解答 解：（1）定圓M的圓心M（-1，0），半徑r₁=4，設(shè)動(dòng)圓N的圓心為N（x，y），半徑為r₂，點(diǎn)D在圓M內(nèi)，
從而與圓N內(nèi)切，故|MN|=r₁-r₂=4-|ND|．
所以|MN|+|ND|=4＞|MD|-2，故點(diǎn)N的軌跡是以M、D為焦點(diǎn)的橢圓…（2分）
由2a=4，2c=2，c²=a²-b²．
解得a²=4，b²=3，則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1…（5分）
（2）設(shè)切線(xiàn)l：y=kx+m是圓O在y軸右邊部分上的一點(diǎn)的切線(xiàn)．
所以k＜0，m＞0或k＞0，m＜0，由$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，即|m|=$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$．
聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{-8km}{4{k}^{2}+3}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$．
所以|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4|km|}{3+4{k}^{2}}$
由于k＜0，m＞0或k＞0，m＜0，故|AB|=-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$…（9分）
又|AD|=2-$\frac{1}{2}$x₁，|BD|=2-$\frac{1}{2}$x₂，
所以|AD|+|BD|=4-$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=4+$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，
所以|AD|+|BD+|AB||=4+$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$=4．
綜上所述：△ABD的周長(zhǎng)為4…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的基本知識(shí)和軌跡方程的求法以及斜率的求法，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用，此題有一定難度．