Question

16．△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2bcosC+c=2a．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）若$cosA=\frac{1}{7}$，求$\frac{c}{a}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知可得sinC=2cosBsinC，結(jié)合0＜C＜π，sinC≠0，可求$cosB=\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍0＜B＜π，即可求得B的值．
（Ⅱ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA的值，利用三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值，利用正弦定理即可計(jì)算得解$\frac{c}{a}$的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵2bcosC+c=2a，
由正弦定理，得2sinBcosC+sinC=2sinA，------------（2分）
∵A+B+C=π，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，…（4分）
∴2sinBcosC+sinC=2（sinBcosC+cosBsinC），
∴sinC=2cosBsinC，
∵0＜C＜π，∴sinC≠0，
∴$cosB=\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，∴$B=\frac{π}{3}$．------------（6分）
（Ⅱ）∵三角形ABC中，$B=\frac{π}{3}$，$cosA=\frac{1}{7}$，
∴$sinA=\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$，-------------（8分）
∴$sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$，…（10分）
∴$\frac{c}{a}=\frac{sin∠ACB}{sin∠BAC}=\frac{5}{8}$．------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．