Question

8．已知曲線${C_1}：y={x^2}$與${C_2}：{y^2}=x$在第一象限內(nèi)的交點為P．
（1）求過點P且與曲線C₁相切的直線方程l；
（2）求l與曲線C₂所圍圖形的面積S．

Answer 1

分析 （1）求出P點坐標，設(shè)出切點坐標，根據(jù)導數(shù)的幾何意義列出方程求出切點坐標和切線效率，代入點斜式方程；
（2）求出l與C₂的交點坐標，使用定積分求出封閉圖形的面積．

解答 解：（1）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{{y}^{2}=x}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$得x=y=1，∴P（1，1）．
設(shè)f（x）=x²，則f′（x）=2x，
設(shè)l與C₁的切點為（x₀，x₀²），則切線斜率為k=f′（x₀）=2x₀，
∴l(xiāng)的方程為$y-x_0^2=2{x_0}（x-{x_0}）$，把P（1，1）代入l方程得，x₀=1，
∴切線l方程為2x-y-1=0．
（2）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{4}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴S=${∫}_{-\frac{1}{2}}^{1}（\frac{y+1}{2}-{y}^{2}）dy$=（$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}y$-$\frac{{y}^{3}}{3}$）${|}_{-\frac{1}{2}}^{1}$=$\frac{9}{16}$．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，定積分在求面積中的應用，屬于中檔題．