Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a${\;}_{n+1}={a}_{n}+λ•{2}^{n}$，且a₁、a₂+1、a₃成等差數(shù)列，其中n∈N⁺；
（1）求實(shí)數(shù)λ的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若不等式$\frac{p}{2n-5}≤\frac{2p+16}{{a}_{n}}$成立的自然數(shù)n恰有4個(gè)，求正整數(shù)p的值．

Answer 1

分析 （1）由題意和等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出方程求出λ，再利用累加法求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）結(jié)合條件對(duì)n進(jìn)行分類討論，當(dāng)n≥3時(shí)利用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)得p≤$\frac{16}{\frac{{2}^{n}}{2n-5}-2}$，利用取特值和做商法判斷出$\frac{{2}^{n}}{2n-5}$的單調(diào)性，再判斷出$\frac{16}{\frac{{2}^{n}}{2n-5}-2}$的單調(diào)性，根據(jù)條件即可求出正整數(shù)p的值．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=a_n+λ•2ⁿ，
∴a₂=a₁+λ•2=2+2λ，a₃=a₂+4λ=2+6λ；
∵a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，
∴2（2+2λ+1）=2+2+6λ，解得λ=1，即a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a₂-a₁=2，a₃-a₂=4，…，a_n-a_n-1=2^n-1，
以上式子相加可得，a_n-a₁=2+4+8+…+2^n-1=2ⁿ-2，
得a_n-2=2ⁿ-2，則a_n=2ⁿ，
∴λ=1，a_n=2ⁿ；
（2）由（1）得，$\frac{p}{2n-5}≤\frac{2p+16}{{2}^{n}}$，
∵P＞0，∴當(dāng)n=1、2時(shí)，上式一定成立；
當(dāng)n≥3時(shí)，化簡(jiǎn)得p≤$\frac{16（2n-5）}{{2}^{n}-4n+10}$=$\frac{16}{\frac{{2}^{n}}{2n-5}-2}$，
當(dāng)n=3時(shí)，p≤$\frac{16}{8-12+10}$=$\frac{8}{3}$=$2\frac{2}{3}$，當(dāng)n=4時(shí)，p≤$\frac{16×3}{16-16+10}$=$\frac{24}{5}$=4.8，
當(dāng)n=5時(shí)，p≤$\frac{16×5}{32-20+10}$=$\frac{40}{11}＜4$，當(dāng)n=6時(shí)，p≤$\frac{56}{25}＜3$，…
設(shè)b_n=$\frac{{2}^{n}}{2n-5}$，則$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{2n-3}•\frac{2n-5}{{2}^{n}}$=$\frac{2（2n-5）}{2n-3}$=2（1-$\frac{2}{2n-3}$），
當(dāng)n≥4時(shí)，2（1-$\frac{2}{2n-3}$）≥$\frac{6}{5}＞1$，則$\frac{_{n+1}}{_{n}}$＞1，
∴當(dāng)n≥4時(shí)，b_n隨著n的增大而增大，則$\frac{16（2n-5）}{{2}^{n}-4n+10}$隨著n的增大而減小，
∵等式$\frac{p}{2n-5}≤\frac{2p+16}{{a}_{n}}$成立的自然數(shù)n恰有4個(gè)，即n=1、2、4、5，
∴正整數(shù)p的值是3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差中項(xiàng)的性質(zhì)，累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，考查方程思想與分類討論思想的應(yīng)用．