Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1），則不等式2f（x）≤f^-1（log₂5）的解為（-∞，0]．

Answer 1

分析 先根據(jù)函數(shù)的定義域求出x的范圍，然后代入解析式，解對(duì)數(shù)不等式，轉(zhuǎn)化成指數(shù)不等式進(jìn)行求解，即可求出x的取值范圍

解答 解：f^-1（x）=log₂（2^x-1），x∈（0，+∞）．
由2f（x）≤f^-1（log₂5），
2log₂（2^x+1）≤log₂（${2}^{lo{g}_{2}5}$-1）=log₂4，
∴l(xiāng)og₂（2^x+1）≤1
∴0＜2^x+1≤2，∴0＜2^x≤1，⇒x≤0；
綜上，x≤0；
故答案為：（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反函數(shù)的求解，以及對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，計(jì)算能力，屬于中檔題