Question

8．如圖所示，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與直線AB：y=$\frac{1}{2}$x+1相切于點(diǎn)A．
（1）求a，b滿足的關(guān)系式，并用a，b表示點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，若△AFB是以F為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（a²+4b²）x²+4a²x+4a²-4a²b²=0，由于直線與橢圓相切，可得△=0，即可解出切點(diǎn)A；
（2）設(shè)AF的斜率為k，由∠BAF=45°，利用“到角公式”可得$\frac{\frac{1}{2}-k}{1+\frac{1}{2}k}$=tan45°，解得k．再利用斜率計(jì)算公式可得$\frac{1-\frac{{a}^{2}}{4}}{-\frac{{a}^{2}}{2}-c}$=-$\frac{1}{3}$，由BF⊥AF，可得k_BF=-$\frac{1}{k}$．得到直線BF的方程，兩條直線方程聯(lián)立可得B．利用|AF|=|BF|可得方程，聯(lián)立解得：a²，c，再利用b²=a²-c²即可得出．

解答 解：（1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為（a²+4b²）x²+4a²x+4a²-4a²b²=0，（*）
∵直線與橢圓相切，
∴△=16a⁴-4（a²+4b²）（4a²-4a²b²）=0，
化為a²+4b²=4．
∴2x_A=$\frac{-4{a}^{2}}{{a}^{2}+4^{2}}$=$\frac{-4{a}^{2}}{4}$=-a²，
解得x_A=-$\frac{{a}^{2}}{2}$，∴y_A=$1-\frac{{a}^{2}}{4}$=b²．
∴A（-$\frac{{a}^{2}}{2}$，b²）．
（2）設(shè)AF的斜率為k，
由∠BAF=45°，∴$\frac{\frac{1}{2}-k}{1+\frac{1}{2}k}$=tan45°=1，解得k=$-\frac{1}{3}$．
∴$\frac{1-\frac{{a}^{2}}{4}}{-\frac{{a}^{2}}{2}-c}$=-$\frac{1}{3}$，化為$1-\frac{{a}^{2}}{4}$=$\frac{1}{3}（\frac{{a}^{2}}{2}+c）$．（*）
∵BF⊥AF，
∴k_BF=-$\frac{1}{k}$=3．
∴直線BF的方程為：y=3（x-c），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=3（x-c）}\end{array}\right.$，
解得B$（\frac{2+6c}{5}，\frac{6+3c}{5}）$．
∵|AF|=|BF|，
∴$\sqrt{（-\frac{{a}^{2}}{2}-c）^{2}+（1-\frac{{a}^{2}}{4}）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2+6c}{5}-c）^{2}+（\frac{6+3c}{5}）^{2}}$，
化為$\frac{1}{3}（\frac{{a}^{2}}{2}+c）=\frac{2+c}{5}$，
與（*）聯(lián)立解得：a²=$\frac{8}{5}$，c=1，
∴b²=$\frac{3}{5}$．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{5{x}^{2}}{8}+\frac{5{y}^{2}}{3}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△=0、等腰直角三角形的性質(zhì)、“到角公式”、相互垂直的直線斜率之間的公式、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．