Question

4．已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，E是BC中點(diǎn)，M是PD上的中點(diǎn)，F(xiàn)是PC上的動點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面AEF⊥平面PAD
（Ⅱ）直線EM與平面PAD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，當(dāng)F是PC中點(diǎn)時(shí)，求二面角C-AF-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC，推導(dǎo)出AE⊥BC，AE⊥AD，PA⊥AE，由此能證明平面AEF⊥平面PCD．
（Ⅱ）以AE，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C-AF-E的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連接AC，
∵底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是正三角形，
∵E是BC中點(diǎn)，∴AE⊥BC，
又AD∥BC，∴AE⊥AD，…（1分）
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，…（2分）
又PA∩AE=A，
∴AE⊥平面PAD，…（3分）
又AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PCD． …（4分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AE，AD，AP兩兩垂直，
以AE，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，…（5分）
∵AE⊥平面PAD，∴∠AME就是EM與平面PAD所成的角，…（6分）
在Rt△AME中，tan$∠AME=\frac{\sqrt{6}}{2}$，即$\frac{AE}{AM}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
設(shè)AB=2a，則AE=$\sqrt{3}a$，得AM=$\sqrt{2}a$，
又AD=AB=2a，設(shè)PA=2b，則M（0，a，b），
∴AM=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}a$，
從而b=a，∴PA=AD=2a，…（7分）
則A（0，0，0），B（$\sqrt{3}a$，-a，0），C（$\sqrt{3}a，a，0$），D（0，2a，0），P（0，0，2a），E（$\sqrt{3}a，0，0$），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$，a），
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}a，0，0$），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$，a），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}a，3a，0$），…（8分）
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面AEF的一個(gè)法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{3}ax=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=\frac{\sqrt{3}}{2}ax+\frac{a}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取z=a，得$\overrightarrow{n}$=（0，-2a，a），…（9分）
又BD⊥平面ACF，∴$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}a，3a，0$）是平面ACF的一個(gè)法向量，…（10分）
設(shè)二面角C-AF-E的平面角為θ．
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{6{a}^{2}}{\sqrt{5}a•2\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．…（11分）
∴二面角C-AF-E的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．