Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$（a，b為常數(shù)），且方程f（x）=$\frac{3}{2}$x有兩個實根為x₁=-1，x₂=2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在（2，f（2））處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）把方程的2個實數(shù)根分別代入方程得到方程組，解此方程組求出待定系數(shù)，進而得到函數(shù)的解析式；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，即可得到所求切線的方程．

解答 解：（1）由題意可得f（-1）=-$\frac{3}{2}$，f（2）=3，
即有$\left\{\begin{array}{l}{-a+\frac{1}{-1+b}=-\frac{3}{2}}\\{2a+\frac{1}{2+b}=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
故f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$；
（2）f（x）的導(dǎo)數(shù)為1-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，
y=f（x）在（2，f（2））處的切線的斜率為1-1=0，
切點為（2，3），
則y=f（x）在（2，f（2））處的切線方程為y=3．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查函數(shù)的解析式的求法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．