Question

8．為加強(qiáng)大學(xué)生實(shí)踐、創(chuàng)新能力和團(tuán)隊(duì)精神的培養(yǎng)，促進(jìn)高等教育教學(xué)改革，教育部門主辦了全國大學(xué)生智能汽車競賽．該競賽分為預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，參加決賽的隊(duì)伍按照抽簽方式?jīng)Q定出場順序．通過預(yù)賽，選拔出甲、乙等五支隊(duì)伍參加決賽．
（1）甲不在首位，乙不在末尾的排法種數(shù)；
（2）求決賽中甲、乙兩支隊(duì)伍恰好排在前兩位的概率；
（3）若決賽中甲隊(duì)和乙隊(duì)之間間隔的隊(duì)伍數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）五個(gè)排序，排法總數(shù)為${A}_{5}^{5}$，甲在首位，乙在末尾的排法種數(shù)為${A}_{3}^{3}$，由此能求出甲不在首位，乙不在末尾的排法種數(shù)．
（2）設(shè)“甲、乙兩支隊(duì)伍恰好排在前兩位”為事件A，利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出甲、乙兩支隊(duì)伍恰好排在前兩位的概率．
（3）由已知得隨機(jī)變量X 的可能取值為0，1，2，3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X 的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）五個(gè)人排序，排法總數(shù)為${A}_{5}^{5}$，甲在首位，乙在末尾的排法種數(shù)為${A}_{3}^{3}$，
∴甲不在首位，乙不在末尾的排法種數(shù)為：
${A}_{5}^{5}-{A}_{3}^{3}$=114．
（2）設(shè)“甲、乙兩支隊(duì)伍恰好排在前兩位”為事件A，
則P（A）=$\frac{2×{A}_{3}^{3}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{10}$．
∴甲、乙兩支隊(duì)伍恰好排在前兩位的概率為$\frac{1}{10}$．
（3）由已知得隨機(jī)變量X 的可能取值為0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{2×{A}_{4}^{4}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{2}{5}$，
P（X=1）=$\frac{3×2×{A}_{3}^{3}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{2×{A}_{2}^{2}×3×{A}_{2}^{2}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=3）=$\frac{2×{A}_{3}^{3}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{10}$，．
∴隨機(jī)變量X 的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$

∴EX=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{5}+3×\frac{1}{10}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等可能事件概率的計(jì)算，考查排列數(shù)公式的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，正確列舉基本事件空間，得到其包含基本事件的數(shù)目．