Question

18．已知AB為半圓O的直徑，AB=4，C為半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作半圓的切線CD，過A點(diǎn)作AD⊥CD于D，交半圓于點(diǎn)E，DE=1
（1）證明：AC平分∠BAD；
（2）求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出∠OAC=∠OCA，OC⊥CD，從而AD∥OC，由此能證明AC平分∠BAD．
（2）由已知推導(dǎo)出BC=CE，連結(jié)CE，推導(dǎo)出△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC，由此能求出BC的長(zhǎng)．

解答 證明：（1）∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，（2分）
∵CD是圓的切線，∴OC⊥CD，（4分）
∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA
故∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BAD．（6分）
解：（2）由（1）得：$\widehat{BC}=\widehat{CE}$，∴BC=CE，（8分）
連結(jié)CE，則∠DCE=∠DAC=∠OAC，
∴△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{CE}{AB}$，
故$BC=\frac{AB•DE}{CE}=2$．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查角平分線的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用．