Question

14．設(shè)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x，g（x）=log_ax（a＞0，a≠1），若h（x）=f（x）+g（x）（0，+∞）上增函數(shù)，且h′（x）存在零點(diǎn)．
（1）求a的值；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，x₂）（x₁＜x₂）為y=g（x）的圖象上的兩點(diǎn)，且g′（x₀）=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，求證：x₀∈（x₁，x₂）

Answer 1

分析 （1）化簡h（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+log_ax，求導(dǎo)h′（x）=$\frac{（lna{）x}^{2}-2（lna）x+1}{xlna}$，從而可得△=4ln²a-4lna=0，從而解得；
（2）求導(dǎo)g′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，從而可得x₀=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$，化簡$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$-x₁=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}-{x}_{1}ln{x}_{2}+{x}_{1}ln{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$，令r（x）=xlnx-xlnx₂+x₂-x，從而求導(dǎo)r′（x）=lnx+1-lnx₂-1=lnx-lnx₂，從而可證x₀-x₁＞0，從而證明．

解答 解：（1）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+log_ax，
∴h′（x）=x-2+$\frac{1}{xlna}$=$\frac{（lna{）x}^{2}-2（lna）x+1}{xlna}$，
∵h(yuǎn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且h′（x）存在零點(diǎn)，
∴△=4ln²a-4lna=0，
解得，lna=1或lna=0；
故a=e或a=1（舍去）；
故a=e；
（2）證明：∵g′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
∴x₀=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$，
$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$-x₁=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}-{x}_{1}ln{x}_{2}+{x}_{1}ln{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$，
令r（x）=xlnx-xlnx₂+x₂-x，
r′（x）=lnx+1-lnx₂-1=lnx-lnx₂，
在（0，x₂]上，r′（x）＜0；
所以r（x）在（0，x₂]上是減函數(shù)，
當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，r（x₁）＞r（x₂）=0，
即x₂-x₁-x₁lnx₂+x₁lnx₁＞0，
故$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$-x₁＞0，
即x₀-x₁＞0，同理可證，x₂-x₀＞0，
故x₀∈（x₁，x₂）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合綜合應(yīng)用及不等式的證明．