Question

4．已知函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，且對定義域內(nèi)的任意x都有f（1+x）=-f（1-x）．當(dāng)x∈（2，3）時，f（x）=log₂（x-1）．給出以下4個結(jié)論：其中所有正確結(jié)論的為  （　�。�
①函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（k，0）（k∈Z）成中心對稱；
②函數(shù)y=|f（x）|是以2為周期的周期函數(shù)；
③函數(shù)y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上單調(diào)遞增；
④當(dāng)x∈（-1，0）時，f（x）=-log₂（1-x）．

• A． ①②④
• B． ②③
• C． ①④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和f（1+x）=-f（1-x），求出函數(shù)的周期，再由所給的解析式和周期性，求出函數(shù)在一個周期性的解析式，再畫出函數(shù)在R上的圖象，由圖象進(jìn)行逐一判斷．

解答 解：令x取x+1代入f（1+x）=-f（1-x）得，f（x+2）=-f（-x）
∵函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，∴f（x+2）=f（x），則函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，
設(shè)0＜x＜1，則2＜x+2＜3，
∵當(dāng)x∈（2，3）時，f（x）=log₂（x-1），
∴f（x）=f（x+2）=log₂（x+1），
設(shè)-1＜x＜-0，則0＜-x＜1，
由f（x）=-f（-x）得，f（x）=-log₂（-x+1），
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和周期函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的圖象：

由上圖得，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（k，0）（k∈Z）成中心對稱；
且函數(shù)y=|f（x）|的圖象是將y=f（x）的圖象在x軸下方的部分沿x軸對稱過去，其他不變，
則函數(shù)y=|f（x）|是以2為周期的周期函數(shù)；
故①②④正確，
而函數(shù)y=f（|x|）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）\;\;x≥0}\\{f（-x）\;\;\;\;\;x＜0}\end{array}\right.$，則圖象如下圖：

由圖得，圖象關(guān)于y軸對稱，故y=f（|x|）在（k，k+1）（ k∈Z）上不是單調(diào)遞增的，
故③不正確，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用，以及對數(shù)函數(shù)的圖象，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化能力，難度較大．