Question

3．已知f（x）=2sinxcosx+cos²x-sin²x．
（1）求f（x）最小正周期；
（2）求f（x）最大最小值以及相應的x值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換求得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），可得函數(shù)的最小正周期．
（2）根據f（x）的解析式、利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）最大最小值以及相應的x值．

解答 解：（1）∵f（x）=2sinxcosx+cos²x-sin²x=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
故f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的最大值為$\sqrt{2}$，此時，2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得 x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈z，故f（x）最大最為$\sqrt{2}$，相應的x值為x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈z．
函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的最小值為-$\sqrt{2}$，此時，2x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，
求得 x=kπ-$\frac{3π}{8}$，k∈z，故f（x）最大最為-$\sqrt{2}$，相應的x值為x=kπ-$\frac{3π}{8}$，k∈z．

點評 本題主要考查三角恒等變換，三角函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．