Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=4S_n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{1}}{1}$+$\frac{_{2}}{3}$+$\frac{_{3}}{5}$+…$\frac{_{n}}{2n-1}$=a_n+1-1 （n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=4S_n+1（n∈N^*），得a_n=4S_n-1+1，兩式相減，得a_n+1=5a_n，（n≥2），由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{1}}{1}$+$\frac{_{2}}{3}$+$\frac{_{3}}{5}$+…+$\frac{_{n}}{2n-1}$=a_n+1-1=5ⁿ-1，（n∈N^*），得$\frac{_{1}}{1}$+$\frac{_{2}}{3}$+$\frac{_{3}}{5}$+…+$\frac{_{n-1}}{2n-3}$=a_n-1=5^n-1-1，（n≥2），兩式相減，得b_n=（8n-4）•5^n-1，n∈N^*，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=4S_n+1（n∈N^*），
∴a_n=4S_n-1+1，（n≥2），
兩式相減，得a_n+1-a_n=4a_n，即a_n+1=5a_n，（n≥2）．
又a₂=4a₁+1=5，
數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，5為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=5^n-1．
（2）∵數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{1}}{1}$+$\frac{_{2}}{3}$+$\frac{_{3}}{5}$+…+$\frac{_{n}}{2n-1}$=a_n+1-1=5ⁿ-1，（n∈N^*），
∴$\frac{_{1}}{1}$+$\frac{_{2}}{3}$+$\frac{_{3}}{5}$+…+$\frac{_{n-1}}{2n-3}$=a_n-1=5^n-1-1，（n≥2），
兩式相減，得：$\frac{_{n}}{2n-1}$=4•5^n-1．n≥2，又b₁=a₂-1=5-1=4，
∴b_n=（8n-4）•5^n-1，n∈N^*，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和：
T_n=4•5⁰+12•5+20•5²+28•5³+…+（8n-4）•5^n-1，①
5T_n=4•5+12•5²+20•5³+28•5⁴+…+（8n-4）•5ⁿ，②
①-②，得：-4T_n=4+8×（5+5²+5³+…+5^n-1）-（8n-4）•5ⁿ
=4+8×$\frac{5（1-{5}^{n-1}）}{1-5}$-（8n-4）•5ⁿ
=-6-（8n-6）•5ⁿ，
∴T_n=$\frac{3}{2}+\frac{4n-3}{2}×{5}^{n}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要注意構(gòu)造法和錯位相減法的合理運用．