Question

19．直線l過(guò)點(diǎn)P（2，3）且分別與x、y正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)．
（1）當(dāng)|OA|•|OB|取最小時(shí)，求直線l的方程；
（2）當(dāng)|PA|•|PB|取最小值時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1（a＞0，b＞0），可得$\frac{2}{a}+\frac{3}$=1，利用基本不等式算出ab≥24，可得當(dāng)且僅當(dāng)a=4且b=6時(shí)，△AOB的面積S有最小值為12，進(jìn)而算出此時(shí)的直線l方程；
（2）設(shè)∠PAO=θ，則可得θ∈（0，$\frac{π}{2}$），|PA|=$\frac{3}{sinθ}$，|PB|=$\frac{2}{cosθ}$，利用二倍角的正弦公式算出|PA|•|PB|，由正弦函數(shù)的值域可得當(dāng)θ=45°時(shí)，|PA|•|PB|取最小值12．而此時(shí)直線的傾斜角為135°，得到斜率為-1，利用點(diǎn)斜式方程列式，化簡(jiǎn)可得直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1（a＞0，b＞0），
∵點(diǎn)P（2，3）在直線上，∴$\frac{2}{a}+\frac{3}$=1，
由基本不等式，得1=$\frac{2}{a}+\frac{3}$≥2$\sqrt{\frac{2}{a}•\frac{3}}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=4且b=6時(shí)，等號(hào)成立，
∴ab≥24，
因此|OA|•|OB|取最小值為12，
此時(shí)的直線方程為$\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=1$，即3x+2y-12=0．
（2）設(shè)∠PAO=θ，則可得θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∵|PA|=$\frac{3}{sinθ}$，|PB|=$\frac{2}{cosθ}$，
∴|PA|•|PB|=$\frac{3}{sinθ}$•$\frac{2}{cosθ}$=$\frac{12}{sin2θ}$，
∴當(dāng)2θ=90°，即θ=45°時(shí)，|PA|•|PB|取最小值12，
此時(shí)，直線的傾斜角為135°，斜率為-1，
直線l的方程為y-3=-1（x-2），化為一般式可得x+y-5=0．

點(diǎn)評(píng) 本題給出直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求滿足特殊條件的直線方程，著重考查了直線的基本量與基本形式和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．