Question

8．已知直線y=x+b（b＞0）上存在唯一一點(diǎn)A，滿足點(diǎn)A到兩點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之和等于2$\sqrt{2}$，則b=$\sqrt{3}$，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$-\frac{2\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求得橢圓方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式等于0求得b的值，然后進(jìn)一步求得點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解答 解：如圖，
∵直線y=x+b（b＞0）上存在唯一一點(diǎn)A，滿足點(diǎn)A到兩點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之和等于2$\sqrt{2}$，
∴直線y=x+b為橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$的切線．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4bx+2b²-2=0．
由△=16b²-12（2b²-2）=-8b²+24=0，解得b=$\sqrt{3}$（b＞0）．
代入3x²+4bx+2b²-2=0，得$3{x}^{2}+4\sqrt{3}x+4=0$，解得x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴y=$-\frac{2\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
則A（$-\frac{2\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
故答案為：$\sqrt{3}$；（$-\frac{2\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用方程思想求未知數(shù)的值，是中檔題．